Posted By: Lumo (** Lumidek **) on 'CZscience'
Title: Setkani s antirelativistou
Date: Tue Jun 10 09:49:43 1997
Setkani s antirelativistou
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Vcera, v pondeli 9.6.1997, jsem se nahodou ucastnil zajimave akce na
Katedre teoreticke fyziky, u ktere byli pritomni mimo jine doc. Langer,
J.Fikacek, kolega matematik-doktorand Sir a hlavne jeden ucinkujici slovenske
narodnosti, jehoz jmeno jsem bohuzel nejak nezaznamenal (dodatecne jsem
zjistil, ze se jmenuje Bolc~o)... Rikejme mu Trebla (pozpatku Albert). ;-)
Trebla ohromoval pritomne ohromnou a nevycerpatelnou davkou energie,
sebevedomi ve vystupovani a schopnosti nenechat se zastavit.
Na zacatku ukazal jakasi dve regularni linearni zobrazeni, jejichz
kompozici ziskal neregularni zobrazeni. :-) Bohuzel tento vysledek s
potencialnim dramatickym dopadem nejen na fyziku, ale i na matematiku,
jsem bohuzel jeste nevidel. :-)
Pote ale odvozoval jakymsi zajimavym zpusobem Lorentzovy transformace.
Jeho tok myslenek jsem pak sel kontrolovat s tim, ze takove elementarni
trivialni priklady snad musime umet resit levou zadni.
Budu se snazit konzistentne formulovat to, co jsme dnes mohli slyset jen v
ramci chaosu, pri kterem se kladl duraz na hlasitost projevu a
zesmesnovani osobnosti vedeckeho sveta.
Treblovy-Lorentzovy transformace
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Uvazujme vztaznou soustavu spojenou s kolejnici (osa x). V bode x0 od
pocatku kolejnice (mereno v teto soustave) vyjel v case t=0 zadek vlaku o
delce l (mereno v soustave kolejnice) rychlosti v.
V case t tedy byl predek vlaku v pozici x3, ktera lze znazornit jako
soucet tri casti:
|------------------------------|-------------|-------------------|
0 x0 x0+vt x0+vt+l
Pravy usek predstavuje delku vlaku l v case t, prostredni usek drahu zadku
vlaku ujetou od casu 0 do casu t.
Problemy nastaly az kdyz se Trebla snazil nakreslit podobny obrazek ve
vztazne soustave vlaku. Trebla byl s obrazkem rychle hotov: nakreslil
podobne tri useky a akorat o kazdem z nich rekl, ze je nejak jednoduse
preskalovan, pokud si dobre pamatuji, dokonce tvrdil, ze vsechny useky
jsou jen vynasobeny sqrt(1-v^2/c^2).
Na muj dotaz, ktere udalosti do nacrtku zaznamenal, odpovedel, ze zadne
udalosti nepotrebuje, ze mu staci geometricky obrazek. :-) Kdyz jsem mu
pak chtel vysvetlit, ze v druhem obrazku nakreslil vedle sebe udalosti,
ktere probehly z hlediska vlaku v rozdilne okamziky - a ze tedy mezi
nejakymi polohami merenymi v uplne jine okamziky neplati zadne jednoduche
vztahy ala kontrakce delek - a kdyz jsem mu vysvetloval, ze soucasnost
znamena neco jineho v soustave vlaku nez v soustave koleji, pozadal doc.
Langera o to, aby mne vzali diplom. :-)
J.Fikacek si pocinal moudre, ujistoval Treblu, ze nemusi tolik kricet,
protoze pokud rika pravdu, tak ta si nakonec cestu najde. :-)
Soustava vlaku
^^^^^^^^^^^^^^
Podivejme se tedy na situaci z hlediska vlaku. Naladme cas tak, aby bod
x=0, t=0 (pocatek kolejnic v nulovem case) byl i v soustave vlaku x'=0,
t'=0. Pak muzeme normalne ukazat pomoci Lorentzovy transformace, jake
budou souradnice udalosti v soustave vlaku.
Udalost, kdy zadek vlaku v t=0 vyjel z bodu x0, se odehraje v soustave
vlaku v poloze x0'=x0/sqrt(1-v^2/c^2). Neni pravda, jak Trebla rikal, ze
odmocnina bude v citateli (takovych chybek tam bylo ale mnoho).
Ovsem neodehraje se v nulovem case, ale uz drive, v case
t0'=-v.x0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)) (viz appendix), ktery plyne z Lorentzovy
transformace. Vsimnete si, ze c^2t^2-x^2 je rovno v obou soustavach
-x0^2. To neni nahoda, Lorentzova transformace zachovava tento invariant.
Laik muze namitnout, ze to, ze x0' je vetsi nez x0, protireci kontrakci
delek: usek kolejnice x0 by se mel jevit v soustave vlaku kratsi. Ale
takovy laik nema pravdu: to, co se kontrahuje faktorem sqrt(1-v^2/c^2), je
delka predmetu merena tak, ze na oba konce ukazeme v jeden okamzik podle
aktualni soustavy! Ovsem v soustave vlaku vyjede konec vlaku z bodu "x0"
uz v case -vx0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)). V teto soustave vlak stoji a
kolejnice se pohybuje doleva rychlosti v. Za danou dobu tedy ujede dany
bod "x0" kolejnic vzdalenost v^2.x0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)) smerem doleva.
V soustave vlaku v case t'=0 tedy bude tento bod kolejnic v bode
x0/sqrt(1-v^2/c^2) - v^2.x0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)), coz je rovno
x0.sqrt(1-v^2/c^2), plne ve shode s tim, ze usek x0 kolejnic se jevi v
soustave vlaku zkracen obvyklym faktorem!
Prostredni usek z prvniho obrazku, znazornujici drahu, kterou zadek vlaku
ujel za cas t, vubec v druhem obrazku nebude, protoze v soustave vlaku
vlak stoji. :-) (Tohle Trebla take jaksi prehledl :-), ale zdaleka se neda
rici, ze je to jedina zasadni chyba.) Celkem bude stat po dobu
t.sqrt(1-v^2/c^2), ponevadz cas t vnimany v soustave kolejnic je
dilatovany obvyklym faktorem.
Posledni usek, zobrazujici delku vlaku l, bude mit v soustave vlaku delku
vetsi, l/sqrt(1-v^2/c^2) (v soustave kolejnic se totiz pozoruje
kontrahovana delka).
Je vsak treba jeste zapocitat dalsi deficit casu (opet jako u prepoctu x0,
viz appendix): udalosti na krajich vlaku, ktere probehly v soustave
kolejnic najednou, probehnou v soustave vlaku nejdrive vepredu vlaku, a to
o v.l/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2) drive.
Celkove, v soustave kolejnic dojel predek vlaku na konec tretiho useku v
case t3=t a souradnice je x3=x0+vt+l. Tato udalost v soustave vlaku
nastane v case
t3'=-v.x0/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2))+t.sqrt(1-v^2/c^2)-v.l/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2))
(soucet nedilatovaneho vlastniho casu jizdy a casu, ktery udava, o kolik
se casove lisi dve udalosti, ktere jsou v jine soustave soucasne, viz
appendix) a souradnice teto udalosti bude
x3'=x0/sqrt(1-v^2/c^2)+l/sqrt(1-v^2/c^2) - jako soucet transformovaneho
useku kolejnic a nekontrahovane klidove delky vlaku.
Kazdy si muze lehce overit, ze pak plati standardni vztahy pro Lorentzovu
specialni transformaci (pro x3,t3,x3',t3')
x'=(x-vt)/sqrt(1-v^2/c^2) a t'=(t-vx/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2)
nebo receno zpetne
x=(x'+vt')/sqrt(1-v^2/c^2) a t=(t+vx'/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2).
Vidime, ze nedochazi vubec k zadnym problemum.
Appendix A. Mira nesoucasnosti udalosti.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Pri vypoctu jsme dvakrat pouzili, ze pokud probehnou v soustave kolejnic
dve udalosti vzdalene o x0 resp. l (rikejme jen l) v jeden okamzik, tak v
soustave vlaku, ktery se pohybuje vuci kolejim rychlosti v doprava,
probehne tato udalost drive na predku vlaku (vice vpravo), a to o cas
v.l/(c^2/sqrt(1-v^2/c^2)). Tohle plyne z Lorentzovy transformace
t'=(t-vx/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2), ovsem ukazme, jak to plyne z postulatu
teorie relativity.
Rozdelme vzdalenost l (merenou v soustave kolejnic) na dve poloviny l/2.
Vysleme ze stredu v jeden okamzik svetelne signaly na obe strany useku l.
Z hlediska klidove soustavy tohoto useku l (kolejnic), oba svetelne
paprsky dorazi v jeden okamzik (duvodem je symetrie). Ovsem z hlediska
vlaku se usek l kolejnic pohybuje rychlosti v doleva, ale podle postulatu
se pohybuji oba paprsky v teto soustave stale rychlosti c. Proto pravy
okraj useku l jede vstric svemu paprsku a narazi na neho drive nez levy
okraj useku l, ktery se pred svym paprskem snazi unikat.
Muzeme celkem lehce spocitat i casovy rozdil. Paprsek letici doprava leti
rychlosti c, pravy okraj useku l (ktery ze soustavy vlaku ma kontrahovanou
delku l/sqrt(1-v^2/c^2)) se pohybuje vstric rychlosti v. Proto rychlost
zkracovani jejich vzdalenosti je c+v. (Tohle neni jejich vzajemna rychlost
merena v jedne ze soustav - ta je rovna c! ale pouze tempo zmensovani
vzdalenosti vuci jine soustave.)
Proto bude doletnuti paprsku trvat l/(2.sqrt(1-v^2/c^2)) / (c+v). Podobne
u leveho okraje, kde je rychlost priblizovani c-v (okraj unika), je ta
doba l/(2.sqrt(1-v^2/c^2)) / (c-v). Prostym odectenim ziskame vysledek: na
pravem okraji nastane udalost drive o vl/(c^2.sqrt(1-v^2/c^2)). Amen.
Zaver
^^^^^
Doc.Langer udajne takovych geniu v zivote poslouchal jiz ke stovce. :-)
Skoda jen, ze tohoto temperamentniho cloveka nedokazeme zapojit do fyziky,
kde by mozna mohl odvest velke mnozstvi skvele prace.
///// Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world.
/// O __ Your Lumidek. mailto:motl@karlin.mff.cuni.cz
/// ---------------------------------------------------
///_______/ http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/
Mazte zbytecne casti replikovanych postu. Uzijte hmat CTRL/K pro smazani radky!
-------------------------------------------------------------------------------