Posted By: Petrik (Petrik) on 'CZscience' Title: Jak si predstavit zakriveni Date: Tue Jul 18 09:47:24 2000 Sorrac, povazoval jsem za dulezitejsi neco napsat o merenich, ktera ukazuji, ze je vesmir s velkou presnosti plochy. Zakriveni si skutecne muzes v nejprimitivnejsim pripade predstavit uzitim jednoho dodatecneho rozmeru (nebo radeji vice). Do vicerozmerneho prostoru pak muzes vnorit menerozmerny prostor podobne, jako (zakrivenou) dvojrozmernou karoserii do trojrozmerneho prostoru. V male oblasti vypada zakriveny prostor vzdycky podobne jako plochy, ovsem cim vetsi oblast studujes, tim se zakriveni vice projevuje. Pokud uzijes jen jeden pridany rozmer, nemuzes ziskat obecny tvar zakriveneho prostoru (s vyjimkou dvojrozmerneho prostoru vnoreneho do trojrozmerneho). Pro znalce: lokalne lze (d+1)-vou souradnici psat jako funkci zakladnich zbylych d souradnic, tudiz mam jen jednu funkci d souradnic, zatimco obecna geometrie je udana d(d+1)/2 funkcemi (symetricky metricky tenzor) souradnic - presneji receno minus d souradnic za obecnou reparametrizaci: tedy presneji lze rici, ze obecna geometrie je zadana d(d-1)/2 funkcemi v kazdem bode. Jen pro d=2 je toto cislo rovno jedne, tedy jen dvojrozmerny prostor lze obecne vzdycky znazornit vnorenim do trojrozmerneho. Pro zcela obecnou geometrii je z teto uvahy jasne, ze potrebuji prinejmensim d(d-1)/2 dodatecnych souradnic. (Pokud mne nejde o presnou geometrii, ale jen o topologii nebo co, staci neco jako d extra souradnic, neznam ale detaily.) Na obecny tvar potrebujes obecne vice dimenzi. Fyzici ale postupuji jinak a zadne dodatecne rozmery pro znazorneni zakriveni nepouzivaji. Nakonec zijeme jen v 3+1 rozmerech, takze "ostatni" prostor mimo "nasi" plochu nema vubec zadny fyzikalni vyznam. V zadnem pripade nelze pridany rozmer, ktery potrebujes ke vnoreni prostoru do vicerozmerneho prostoru, interpretovat jako nejakou fyzikalni velicinu, napriklad cas; to je odpovedi na jednu z Tvych otazek. Je take uplne nesmyslne predstavovat si, ze dvojrozmerne plostice si zakrivuji vicerozmerny prostor. Zakriveni existuje uz v d dimenzich, vicerozmerny prostor, do nehoz jsme zakriveni, je v tomto pripade jen psychologickou berlickou a realne vubec neexistuje. (V tomto momentu si nemohu odpustit zminku o tom, ze podle novych modelu teorie superstrun mohou existovat nejen dodatecne skryte dimenze, ale nas svet muze byt opravdu "blanou", ktera se ve vicerozmernem prostoru vznasi. Tohle ale nenastava, pokud vice rozmeru uzijeme jen jako nastroje na predstaveni si zakriveni.) Fyzici postupuji uzitim tzv. metrickeho tenzoru. Predstav si, ze mas plochou rovinu popsanou kartezskymi souradnicemi x,y. Pokud zmenis souradnice o male hodnoty dx,dy, ziskas sikmou carku, jejiz delka ds splnuje podle Pythagorovy vety ds^2=dx^2+dy^2. Muzes ovsem pouzit take polarni souradnice, v nichz plati ds^2=dr^2+r^2.d phi^2. Vsimni se, ze koeficienty pred dr^2 a dphi^2 jsou nejake funkce obecne r,phi. V jeste obecnejsim pripade muzes mit i zbyly bilinearni clen dr.dphi. Tak napriklad pokud zapises metriku jako ds^2=dtheta^2+sin^2(theta).dphi^2, presne popises geometrii povrchu koule o polomeru jedna. Vsimni se, ze jsem zadny treti rozmer nepouzil, stacily mne souradnice theta,phi, a presto je v nich ulozena veskera informace o vlastni (intrinzicke) krivosti povrchu koule. Obecna (zakrivena) Riemannova metrika je tedy popsana vzorcem ds^2 = suma_{i,j=1...d} g_{ij}(x^i).dx^i.dx^j, kde sumace probiha pres vsech d^2 konfiguraci indexu i,j, souradnice jsou oznaceny s hornim indexem x^i a koeficienty bilinearniho vyrazu jsou obecnymi funkcemi souradnic x^i. Pokud jsou napriklad koeficienty metrickeho tenzoru g_{ij} rovny konstantam, dostanes plochou geometrii. Z funkci g_{ij} muzes spocitat jisty vyraz, obsahujici druhe (a prvni) derivace g_{ij}, abys ziskal tzv. Riemannuv tenzor krivosti, ktery presne vycisluje, nakolik je geometrie popsana metrikou g_{ij} zakrivena. Poscitanim jistych slozek muzes vypocitat take Ricciho tenzor a skalarni krivost, ktera vyjadruje neco jako 1/a^2, kde "a" je odpovidajici polomer zakriveni. Co se tyce toho, jestli se cas jen veze, podle teorie relativity lze rici, ze co plati pro prostor, plati i pro cas. Cas musis povazovat za rovnopravnou souradnici (byt s opacnou signaturou), a tudiz se muze zakrivovat, vychylovat, michat s ostatnimi souradnicemi apod. Zdravi Lumidek