Posted By: zdenek (zdenek) on 'CZscience' Title: jeste k te funkci... Date: Mon Mar 24 22:43:37 1997 Ahoj vsichni, byly tu nejake dotazy, tak k tomu jeste neco trochu pripisu. Tedy: proc je lim sup x->x_0 (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) >= K (*) a lim inf x->x_0 (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) =< -K. Dokazi 1. radek, druhy je analogicky. Mejme dano x_0 z R, D > 0, 0 < K < nekonecno. Jiste najdeme `k` takove, ze plati 2*10^-2k < D, (5/36)*10^k > K :-) Nyni zvolime cisla `a`, `b` ruzna od x_0 takto: a je nejvetsi cislo < x_0 takove, ze f_k(x) = 0, b je nejmensi cislo > x_0 takove, ze f_k(x) = (1/2)*10^-k. (Kdyz si predstavite funkci f_k(x), tak je videt smysl teto volby.) Mame tedy: 0 < b-a < 2*10^-2k; (f_k(b)-f_k(a))/(b-a) = ((1/2)*10^-k)/(b-a) >= (1/4)10^k. Dale pro `a`, `b` plati toto: f_n(a) = f_n(b) = 0 pro n > k !!! Z toho pro fci `f` plyne: (f(b)-f(a))/(b-a) = suma{n=0 az k} (f_n(b)-f_n(a))/(b-a) >= >= (10^k)/4 - suma{n=0 az k-1} 10^n = = (10^k)/4 - ((10^k)-1)/(10-1) > (5/36)*10^k > K Nyni oznacme `c` to cislo z `a` a `b`, pro ktere plati (f(c)-f(x_0))/(c-x_0) >= (f(b)-f(a))/(b-a) > K. (je to prave jedno z nich) Soucasne ale je c-x_0 < b-a =< D; a tim je dokazano (*). No, doufam, ze se v tom aspon trochu orientujete :-) Zdenek 'work hard, play hard'