Posted By: Lumo (Lumidek king superstring) on 'CZphilosophy' Title: Hypoteza kontinua od laika pro laika Date: Mon Dec 16 20:52:41 1996 Ahoj lidi, sam se v teorii mnozin nevyznam, nikdy jsem se to oficialne neucil, jen jsem se kdysi laicky zabyval tim, jak takove veci mohou ovlivnit filosofii :-) - a zcasti tomuto nazoru dal za pravdu. Nevim tedy, zda budu rikat "slabou" nebo "silnou" verzi hypotezy kontinua, uz jsem to zapomnel. Snad to bude o to pochopitelnejsi pro vsechny. (Pripadne detaily opravte.) Jde o problem s teoriemi mnozin. Teorie mnozin uznava cosi jako kardinalitu mnozin - coz je pocet jejich prvku z mnozinoveho hlediska. Kardinalita petiprvkove mnoziny je pet - respektive neco, co je stejne u vsech mnozin stejne mohutnych. Pocet prvku mnoziny prirozenych cisel je "omega" - takovym mnozinam se rika "spocetne" - a pocet realnych cisel je stejny, jako vsech zobrazeni, ktera prirozenemu cislu prirazuji cislo z nejake konecne mnoziny; to odpovida tomu, ze realne cislo lze zapsat desetinnym rozvojem. Mohutnost mnoziny realnych cisel (obecneji "kontinua") je tedy "dve na omega". Pak vam axiomy teorie mnozin zaruci, ze kardinalni cisla (tj. mozne "pocty prvku") lze srovnat - o kazdych dvou lze rici, jestli jsou stejna, pripadne ktere je vetsi. Kdyz ma mnozina A vetsi mohutnost (kardinalitu) nez B, znamena to, ze existuje proste zobrazeni z B na A, ale nikoliv naopak. Jestlize maji dve mnoziny stejnou mohutnost, existuje proste zobrazeni na obe strany. Ted se podivejme na mozne mohutnosti. Prazdna mnozina ma nula, jednoprvkova jedna, dvojprvkova dva atd... - pak existuje az omega - coz je jakasi limita techto prirozenych cisel. Z hlediska kardinalu je omega totez co omega+1. Pokud pridame k prirozenym cislum (pocitam sem i nulu treba) dalsi prvek, rekneme minus jedna, dostaneme stejne velkou mnozinu "N-1", jejiz prvky jednoznacne priradime puvodnim prirozenym cislum tak, ze od tech puvodnich prirozenych cisel odecteme jednicku. Cili za kardinalem "omega" hned tak neco neni. Kdyz hledame neco vetsiho, dojdeme k necemu az u kontinua, tj. mnoziny realnych cisel, rekneme z intervalu <0,1). Ta je evidentne aspon tak mohutna, jako mnozina prir. cisel, protoze realne lze ziskat z prirozeneho N jako 1/(N+1) rekneme - a takove zobrazeni je proste. Ovsem zpetne proste zobrazeni neexistuje - tj. realnych cisel z <0,1) je vice nez prirozenych cisel. Jinymi slovy, je jich "nespocetne mnoho". To se ukaze jednoduchym "diagonalnim" dukazem, ktery asi pochazi od Cantora: Predpokladejme, ze vsechna realna cisla z <0,1) lze jednoznacne priradit prirozenym cislum. Tj. lze ocislovat realna cisla. Na kazdou radku (poradi radky je to prirozene cislo) napiseme jedno realne cislo z <0,1), napr. 0: 0,02352305852... (tuto radku dostante nahoru nasobnym stiskem enteru) 1: 0.86293659238... (budete ji potrebovat) 2: 0.31415926535... 3: 0.31289561891... 4: 0.12488169696... 5: 0.96120300123... atd. Pro libovolne takove ocislovani realnych cisel lze najit cislo, ktere urcite neni na zadne radce: ziskame ho tak, ze z prvni radky vezmeme prvni decimalu (0), z dalsi druhou (6) (z 0.86...), z dalsi treti (4) atd. Ziskame posloupnost 064883... ted staci kazdou cislici zmenit (napriklad pricist k ni jedna modulo deset) - a dostaneme 0,175994... coz je cislo, ktere se nemuze shodovat s zadnym cislem na radkach - protoze s kazdym se neshoduje aspon v jedne cislici - tak jsme ho ziskali. Tedy mohutnost realnych cisel je vetsi nez prirozenych. Napada nas jednoducha otazka - zda je jeste nejaka mohutnost mezi temito dvema mohutnostmi. Veskere snahy o dukaz byly neuspesne - veskere snahy o dukaz opaku byly take neuspesne. A nebylo to nahodou - lidem se nakonec podarilo ukazat, ze ani jedna z techto variant z ostatnich axiomu teorie mnozin neplyne (takove veci delal a snad dela Petr Vopenka, nemohu to nerici). ;-) Presto je plno matematiku jaksi "nabozensky" presvedceno, ze jedna z odpovedi je urcite pravdivejsi nez druha, ze neco jako "realne existuji svet mnozin" existuje nezavisle na nasich axiomech. Nekteri jedne z variant strani, jini nikoliv. Muj nazor v tomto nema prilis zasadni cenu, protoze uz jsem parkrat v zivote zmenil nazor na tuto otazku. Ale dnes si spise myslim, ze zadny "realny svet mnozin", kde odpoved na otazku pravdivosti hypotezy kontinua ma smysl nezavisle na nasich axiomech - neexistuje. Jaksi verim realne existenci jen prirozenych cisel a "spocetnych objektu" - a uz dukaz o existenci nespocetne mnoziny pokladam spise za jakousi hricku se spocetnymi objekty. To samozrejme nic nemeni na tom, ze mnoziny nespocetne (z hlediska teorie mnozin) hraji ve fyzice apod. jeste zasadnejsi ulohu nez spocetne. Ale jaksi si myslim, ze vsechny vety o realnych cislech apod. v sobe obsahuji jen jaksi zakodovany system tvrzeni o prirozenych cislech a algoritmech s nimi (ovsem opravdu mnoho takovych vet najednou, protoze ta realna cisla lze reprezentovat mnoha zpusoby) - a ze kazdy jiny nazor vychazi jen z toho, ze realna cisla zname jeste z jedne oblasti ideji: z realneho zivota nasich smyslovych zazitku. :-) ///// Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world. /// O __ Your Lumidek. mailto:motl@menza.mff.cuni.cz /// --------------------------------------------------- ///_______/ http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/ The most incomprehensible thing about the world is that it's comprehensible. AE -------------------------------------------------------------------------------