Posted By: Lumo (* LIGHT in ESPERANTO *) on 'CZphilosophy'
Title:     Indukce v teorii mnozin
Date:      Fri Feb 14 07:08:53 1997

Ahoj lidi!

Sam bych skoncil debatu o chybe nebo nechybe :-) dukazu, ze existuje nejvetsi 
cislo. :-) Myslim, ze jsme ti to, Jerome, vysvetlili a ze to za chvili 
pochopis. Chces otevrit uplne novou otazku - jak vypada dukaz indukci v 
teorii mnozin. Sam to povazuji asi za mene filosoficky dulezite nez Pilipuv 
resort, ale zkusim to, koles me jiste opravi. ;-) 

> Nemohu si ted vybavit, jak presne zni axiom nekonecna, ale vim, ze je to 
> v podstae indukcni krok, tj.  Existuje N takove, ze 1 je prvkem N a pro 
> kazde n , ktere je prvkem N,  existuje n+1, ktere je taky prvkem N. 

Ja se to tedy take neucil, ale myslim, ze mas v zasade pravdu. Prirozene cislo 
0 se v teorii mnozin pise jako prazdna mnozina 0={} a prirozene cislo n+1 se 
ziska z cisla n (presneji mnoziny, ktera ho zastupuje) jako sjednoceni n
a {n} (kde {n} je mnozina s jednim prvkem, kterym je mnozina n). Proto cislo 1 
odpovida {0}, cislo 2 odpovida {0,{0}}, cislo 3 je {0,{0},{0,{0}}} atd. 

Axiom tvorby dvojic apod. lze pouzit k sestrojeni libovolneho prirozeneho 
cisla, treba 1997. Vsechny mnoziny, jejichz existenci lze zatim dokazat, jsou 
konecne - nektere z nich odpovidaji konecnym prirozenym cislum. Ovsem my 
chceme mit kontrolu i nad realnymi cisly, nad vsemi prirozenymi cisly najednou 
atp., takze potrebujeme i nekonecnou mnozinu.

Proto postulujeme axiom nekonecna, tj. existence nekonecne mnoziny (bude to 
nakonec po upresnenich definice mnozina prirozenych cisel N, jakasi limita 
mnozin, ktere popisuji konecna prirozena cisla, ale to je jen komentar pro 
intuici...), ktera obsahuje mezi svymi prvky prazdnou mnozinu (cislo nula...) 
a pro kazdy prvek n obsahuje i prvek n sjednoceno s {n}, tj. n+1. 

Z teto jeji vlastnosti je jasne, ze to nemuze byt zadna z konecnych mnozin.
Samotna tato definice neurcuje asi N jednoznacne, protoze k ni lze pridat 
dalsi retezce prvku p, p sjednoceno s {p}, atd.atd., ale to jde osetrit 
(chceme-li ziskat definici konkretni mnoziny). Lze pridat dalsi vec, se kterou 
uz bude definice konkretni nekonecne mnoziny N jednoznacna. Napriklad asi 
staci rici, ze kazdy prvek N, ktery neni prazdna mnozina, se musi rovnat n 
sjednoceno {n} pro nejake n. 

Dukaz matematickou indukci spociva v tomto: chceme dokazat urcitou vlastnost 
pro vsechna prirozena n. V teorii mnozin je "vlastnost" a "mnozina" (presneji 
"trida" v GB teorii mnozin) jedno a totez, protoze mnoziny jsou prave na 
shromazdovani objektu s jistou vlastnosti. 

Proto chceme ukazat, ze mnozina M (shromazdujici vsechna prirozena n s urcitou 
vlastnosti) se rovna celemu N (kam pocitame i nulu). Staci dokazat, ze prvkem 
M je prazdna mnozina (nula) a ze s kazdym prvkem n obsahuje i n sjed. {n} (to 
je ten indukcni krok). Pak uz je jasne, ze M obsahuje vsechna cisla z N, tj. N 
je podmnozinou M, ale M=N, jelikoz jsme do M vybirali jen prvky N. Jednoduse 
nakonec ukazeme, ze M splnuje tytez vlastnosti, ktere jednoznacne urcuji 
mnozinu, kterou jsme definitoricky nazvali N. 

Samozrejme, konkretni realizace kroku zavisi na dokazovane vlastnosti 
prirozenych cisel a jeji provedeni je (vetsinou nemotornou) kopii obdobneho 
dukazu mimo teorii mnozin. 

> Lumo uz popsal asi  asi 20K a nezmohl se na popis tohoto ztrucneho 
> duvodu. Myslim si, ze kdyby si usetril sve uvahy  o Pilipove resortu a 
> mych kondomech tak jsme mohli  byt dale.  :-))))

To je ale uplne jina otazka, dal jsi svoji aporii proto, aby se lide podivali, 
kde (pokud vubec) ;-) je v ni chyba, a nikoliv proto, abychom rekli, jak se 
provadi indukce v teorii mnozin, s cimz skoro vubec tvuj post nesouvisel. 

> (Jen tak mimochodem, Mylsim si Lumo, ze ten dukaz  ma logickou chybu, i 
> kdyz nezpochybnim matematickou indukci. Ja dukaz matematickou indukci v 
> tomto pripade ne zpochybnuji a presto si myslim, ze ten dukaz ma logickou 
> chybu, o ktere, opakuji, nevis. )

To si muzes myslet :-), ale nic to nezmeni na tom, ze tou hlavni chybou je to, 
co jsem rekl. A ty si myslis, ze vis, kde "jinde" je chyba? ;-)

      /////  Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world.
    /// O __        Your Lumidek.  mailto:lmot2220@menza.mff.cuni.cz
   ///           ---------------------------------------------------
  ///_______/             http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/
The most incomprehensible thing about the world is that it's comprehensible. AE
-------------------------------------------------------------------------------